Question

设函数f（x）=xsinx，若x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（x₁）＞f（x₂），则下列必定成立的是（　　）

A．x12＞x22

B．x₁＜x₂

C．x₁＞x₂

D．x₁+x₂＞0

Answer 1

分析：由于f（-x）=f（x），故函数f（x）=xsinx为偶函数，则f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=sinx+xcosx，当x＞0时，f′（x）＞0，从而可得答案．

解答：解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴函数f（x）=xsinx为偶函数，
∴f（-x）=f（|x|）；
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当

π

2

＞x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，

π

2

]上单调递增．
∵f（x₁）＞f（x₂），结合偶函数的性质
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴|x₁|＞|x₂|，
∴x12＞x22．
故选A．

点评：本题考查函数f（x）=xsinx的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在[0，

π

，2

]上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题．