Question

9．已知函数f（x）=a^x．
（I）若a=2时，关于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在区间[1，2]内有解，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若a＞0，且a≠1，函数g（x）=f（2x）+2f（x）-1在[-1，1]上的最大值是14，求a的值．

Answer 1

分析 （I）若a=2时，利用参数分离法和换元法，结合指数函数的性质求出函数的范围即可；
（Ⅱ）利用换元法，转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性判断函数的最大值，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（I）若a=2时，f（x）=2^x．
则f（x）+f（1-x）-m=0等价为2^x+2^1-x=m，
即m=2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$，
设t=2^x，则当1≤x≤2时，2≤t≤4，
此时函数y=2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$，
等价为y=t+$\frac{2}{t}$则函数y=t+$\frac{2}{t}$在2≤t≤4上为增函数，
则当t=2时取得最小值y=2+$\frac{2}{2}$=2+1=3，
当t=4时取得最大值y=4+$\frac{2}{4}$=$\frac{9}{2}$，
即3≤y≤$\frac{9}{2}$，
若方程f（x）+f（1-x）-m=0在区间[1，2]内有解，
则3≤m≤$\frac{9}{2}$，
即实数m的取值范围是[3，$\frac{9}{2}$]；
（Ⅱ）函数g（x）=f（2x）+2f（x）-1=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2，
设t=a^x，则函数等价为y=（t+1）²-2，
若a＞1，则当-1≤x≤1时，$\frac{1}{a}$≤t≤a，
此时当t=a时，函数取得最大值是14，
即（a+1）²-2=14，即（a+1）²=16，
即a+1=4，则a=3，
若0＜a＜1，则当-1≤x≤1时，a≤t≤$\frac{1}{a}$，
此时当t=$\frac{1}{a}$时，函数取得最大值是14，
即（$\frac{1}{a}$+1）²-2=14，即（$\frac{1}{a}$+1）²=16，
即$\frac{1}{a}$+1=4，则$\frac{1}{a}$=3，得a=$\frac{1}{3}$，
综上a=3或$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查函数最值的应用，利用函数与方程之间的关系，转化为函数最值问题，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．