Question

16．如图，在正四棱柱中ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，D₁B和平面ABCD所成的角的大小为$arctan\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，求该四棱柱的表面积．

Answer 1

分析 根据正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱B₁C⊥底面ABCD，判断∠B₁CB为直线B₁C与底面ABCD所成的角，求出侧棱长，代入棱柱的侧面积公式计算．

解答 解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱D₁D⊥底面ABCD，连结BD，
∴∠D₁BD为直线BD₁与底面ABCD所成的角，
D₁B和平面ABCD所成的角的大小为$arctan\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
∴tan∠D₁BD=$\frac{{DD}_{1}}{\sqrt{2}}$，DD₁=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面积S=4×1×$\frac{3}{2}$=6，
底面积为1+1=2．
棱柱的表面积为：8．
故答案为：8．

点评 本题考查了正四棱柱的性质，直线与平面所成角的应用，考查了线面角的定义，侧面积计算公式，关键是找到直线与面积所成的角．