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自选题:不等式选讲:已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.
(I)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2;
(II)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.
【答案】分析:(I)对已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.进行去掉绝对值后再利用不等式的性质即可得到x1+x2的范围,由于|x1-x2|≤|x1-2|+|x2-2|再对右边利用题中条件即可证得.
(II)利用)|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,对最后一个式子利用(I)中的结论进行放缩即可证明得.
解答:证明:(I)∵|x1-2|<1,∴-1<x1-2<1,即1<x1<3,(2分)
同理1<x2<3,∴2<x1+x2<6,(4分)
∵|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,
∴|x1-x2|<2;(5分)
(II)|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,(8分)
∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2-1<5,
∴|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|(10分)
点评:本题主要考查了不等式的证明、绝对值不等式的应用,属于中档题.
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