分析 (Ⅰ)由已知推导出BD⊥BE,BE⊥AB,从而BE⊥平面ABDC,由此能证明BE⊥CD.
(Ⅱ)以B为原点,BE为x轴,BA为y轴,BD为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出直线AE与平面CDE所成角的正弦值.
解答 证明:(Ⅰ)∵在平面α内有一条线段AB,分别过A,B作平面α的垂线段AC,BD(在平面α的同一侧),
∴BD⊥BE,
∵过B作AB的垂线BE,∴BE⊥AB,
又AB∩BD=B,∴BE⊥平面ABDC,
∵CD?平面ABDC,∴BE⊥CD.
解:(Ⅱ)以B为原点,BE为x轴,BA为y轴,BD为z轴,建立空间直角坐标系,
∵AB=BE=2,CE=4,AC=2BD,
∴AE=$\sqrt{4+4}$=$2\sqrt{2}$,AC=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$,DB=$\sqrt{2}$,
A(0,2,0),E(2,0,0),C(0,2,2$\sqrt{2}$),D(0,0,$\sqrt{2}$),
$\overrightarrow{DE}$=(2,0,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{DC}$=(0,2,$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{AE}$=(2,-2,0),
设平面DCE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$,取z=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,$\sqrt{2}$),
设直线AE与平面CDE所成角为θ,
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
点评 本题考查线线垂直的证明,考查线面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {-1,1,-2,2} | B. | {1,-1} | C. | {2,-2} | D. | {-2,-1,0,1,2} |
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A. | 若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p∧q”为真命题 | |
B. | 命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0” | |
C. | “sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$”是“α=$\frac{π}{3}$”的充分不必要条件 | |
D. | 命题“?x∈R,2x>0”的否定是““?x0∈R,2${\;}^{{x}_{0}}$≤0” |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
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