Question

在xOy平面上有一点列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,对每个自然数n点P_n位于函数y=2000()^x(0<a<1)的图像上，且点P_n,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以P_n为顶点的等腰三角形.
(1)求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
(2)若对于每个自然数n,以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
(3)设C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由.

Answer 1

(1) b_n=2000() ，(2) 5(－1)<a<10， (3)前20项

(1)由题意知：a_n=n+,∴b_n=2000().
(2)∵函数y=2000()^x(0<a<10)递减，
∴对每个自然数n,有b_n>b_n+1>b_n+2.
则以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2+b_n+1>b_n,
即()²+()－1>0,
解得a<－5(1+)或a>5(－1) ∴5(－1)<a<10.
(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7
∴b_n=2000() 数列{b_n}是一个递减的正数数列，
对每个自然数n≥2,B_n=b_nB_n－1.
于是当b_n≥1时，B_n<B_n－1,当b_n<1时，B_n≤B_n－1,
因此数列{B_n}的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n+1<1,
由b_n=2000()≥1得： n≤20.8. ∴n=20.