Question

已知函数f（x）=

nx2+2

3x+m

是奇函数，且f（2）=

5

3

．
（1）求实数m和n的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由奇函数的定义，可得m=0，再由f（2），即可得到n；
（2）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答： 解：（1）f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
即为

nx2+2

-3x+m

=-

nx2+2

3x+m

，
即有m=-m，即m=0，
又f（2）=

5

3

，则

4n+2

6

=

5

3

，
解得n=2，
则m=0，n=2；
（2）由于f（x）=

2(x2+1)

3x

=

2

3

（x+

1

x

），
则f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

），
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜-1；
f′（x）＜0，可得-1＜x＜0或0＜x＜1．
则f（x）在（-∞，0）上的单调性为：在（-∞，-1）上递增，
（-1，0）上递减．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查函数的单调性的判断，考查定义法和导数的运用，考查运算能力，属于基础题．