(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程.
(2)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
思路分析:(1)掌握三角形重心公式,会把x1+x2,y1+y2用x、y的形式来表示.
(2)利用S△AOB=|OA|·|OB|公式以及均值定理求解.
解:(1)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1)、B(x2,y2),则x= ①
∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=-1. ②
又点A、B在抛物线上,有y1=x12,y2=x22,代入②化简得x1x2=-1.
∴y==(x12+x22)
=[(x1+x2)2-2x1x2]
=×(3x)2+=3x2+.
∴重心G的轨迹方程为y=2x2+.
(2)S△OAB=|OA||OB|
=
=.
由(1)得S△AOB=
≥
=
=×2=1.
当且仅当x16=x26,即x1=-x2=-1时,等号成立.
∴△AOB的面积存在最小值,存在时最小值为1.
讲评:会正确设动点坐标G(x,y),找x、y与x1、x2、y1、y2的关系,求轨迹方程,求面积的最小值问题经常和均值定理联系在一起.
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