Question

已知函数f(x)=log2

5+ax

5+x

，(-1≤x≤1)为奇函数，其中a为不等于1的常数；
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x），代入函数解析式得恒等式，利用恒等式中x的任意性即可得a的值；
（2）先将不等式f（x）＞m恒成立问题转化为求函数f（x）在x∈[-1，1]时的最小值问题，再利用复合函数的单调性求最值即可

解答：解：（1）∵f(x)=log2

5+ax

5+x

，(-1≤x≤1)为奇函数
∴f（-x）=-f（x），即log2

5-ax

5-x

=-log2

5+ax

5+x

即

5-ax

5-x

=

5+x

5+ax

对x∈[-1，1]恒成立；
所以（5+ax）（5-ax）=（5+x）（5-x）
∴a=±1，
因为a为不等于1的常数，所以a=-1
（2）∵f(x)=log2

5-x

5+x

，(-1≤x≤1)
设t=

5-x

5+x

，(-1≤x≤1)，则f（t）=log₂t，
因为t=

5-x

5+x

=-1+

10

x+5

在[-1，1]上递减所以

2

3

≤t≤

3

2

，
又因为f（t）=log₂t，在[

2

3

，

3

2

]上是增函数，
所以f(t)min=log2

2

3

因为对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）_min＞m
所以m＜log2

2

3

点评：本题考查了奇函数的定义及其应用，不等式恒成立问题的解法，复合函数的单调性及其最值的求法，转化化归的思想方法