Question

记具有如下性质的函数的集合为M：对任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，则f（x₁）＜f（x₂），现给定函数
①f（x）=x⁴+x²+1，②f（x）=x³+x²+1，③f（x）=1-x²，④f（x）=x²+2^|x|．
则上述函数中，属于集合M的函数序号是

 

．

Answer 1

分析：由已知中函数的集合为M：对任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，则f（x₁）＜f（x₂），我们可得满足条件的函数在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，逐一分析题目中四个函数的单调性，比照后，即可得到答案．

解答：解：对任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，则f（x₁）＜f（x₂），
则函数在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增
①中，由f（x）=x⁴+x²+1，得f′（x）=4x³+2x，当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故①中函数符合条件；
②中，由f（x）=x³+x²+1，得f′（x）=3x²+2x，当x∈（-∞，0）时，f′（x）符号不确定，故②中函数不符合条件；
③中，由f（x）=1-x²，得f′（x）=-2x，当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，故③中函数不符合条件；
④f（x）=x²+2^|x|，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²+2^x为增函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=x²+

1

2

^x为减函数，故④中函数符合条件；
故答案为：①④

点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合中元素所满足的性质，并将其转化为熟知的性质，如本题中将对任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，则f（x₁）＜f（x₂），转化为函数在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，是解答本题的关键．