Question

某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元
（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f（n），则由求和公式得到f（n）=-2n²+40n-72；
（1）令f（n）＞0，解出n即可判断；
（2））①年平均利润=

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

），由基本不等式即可求得最大值及n的值；
②f（n）=-2（n-10）²+128，由二次函数的性质即可得到最大值和n的值．
对照比较，即可得到答案．

解答： 解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为f（n），
则f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72；
（1）获纯利润就是要求f（n）＞0，
∴-2n²+40n-72＞0，解得2＜n＜18，
由n∈N知从第三年开始获利；
（2）①年平均利润=

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16
当且仅当n=6时取等号，
故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，
②f（n）=-2（n-10）²+128，
当n=10时，f（n）|_max=128
故第②种方案共获利128+16=144（万美元）．
故比较两种方案，获利都是144万美元，
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，
故选择第①种方案．

点评：本题考查等差数列的应用题，考查等差数列的求和公式，考查运用基本不等式和二次函数的知识求最值，属于中档题和易错题．