Question

19、已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中项
（1）求数列{a_n}的通项公式  
（2）记b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入b_n=a_n•log₂a_n，求出b_n，利用错位相减法求出T_n．

解答：解：（1）a₃+2是a₂和a₄的等差中项，且a₁=2，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
即2（a₁q²+2）=a₁q+a₁q³
∴q=2
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ
（2）∵b_n=2ⁿlog₂2ⁿ=n•2ⁿ
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

点评：查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的前项和S_n，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．