Question

一束光线从点A（-1，0）出发，经过直线l：2x-y+3=0上的一点D反射后，经过点B（1，0）．
（1）求以A，B为焦点且经过点D的椭圆C的方程；
（2）过点B（1，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点，以AP、AQ为邻边作平行四边形APRQ，求对角线AR长度的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出点A（-1，0）关于直线l：2x-y+3=0的对称点为，由题设知椭圆长轴长等于|A′B|，从而求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组，消去x得：（my+1）²+2y²=2，然后利用韦达定理和两点间距离公式，能够求出对角线AR长度的取值范围．
解答：解：（1）点A（-1，0）关于直线l：2x-y+3=0的对称点为，
∴，c=1，∴b²=1，
所以所求椭圆方程为：．
（2）设直线l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立方程组，
消去x得：（my+1）²+2y²=2，
即（m²+2）y²+2my-1=0，
∴
∵
∴
令，
则，
∴．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、两点间距离公式的应用，合理地进行等价转化．