Question

已知椭圆.
（1）我们知道圆具有性质：若为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；
（2）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；
（3）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
    
图（1）                                    图（2）

Answer 1

（1）见解析  （2）   （3）存在，

（1）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;(1分)
证1：设，则
（2）-（1）得：，(2分)
仅考虑斜率存在的情况
(4分)
证2：设AB：与椭圆联立得：
， (2分)
所以(4分)
（2）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率，
即，
所以点B处的切线QB：(6分)
令，，令，所以(8分)
又点B在椭圆的第一象限上，所以

，当且仅当
所以当时，三角形OCD的面积的最小值为---10分（没写等号成立扣1分）
（ⅱ）设，由（ⅰ）知点处的切线为：
又过点，所以，又可理解为点在直线上同理点在直线上，所以直线MN的方程为： (12分)
所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切.  (14分)