Question

4．已知复数z₁=$\frac{1}{a+2}$+（a²-1）i，z₂=2+2（a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若复数z₁-z₂在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若虚数z₁是实系数一元二次方程4x²-4x+m=0的根，求实数m值．

Answer 1

分析 （1）由复数对应的点在第一象限得到实部大于0，虚部大于0，解不等式组即可；
（Ⅱ）利用z₁是实系数一元二次方程4x²-4x+m=0的根，得到另一个根是复数z₁的共轭复数，利用根与系数的关系得到a和m．

解答 解：（Ⅰ由已知得到z₁-z₂=$\frac{1}{a+2}$-2+（a²-2a-3）i，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}-2＞0}\\{{a}^{2}-2a-3＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜-\frac{3}{2}}\\{a＞3或a＜-1}\end{array}\right.$，所以$-2＜a＜-\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）因为虚数z₁是实系数一元二次方程4x²-4x+m=0的根，所以$\overline{z}$₁是方程的另一个根，所以${z}_{1}+\overline{{z}_{1}}=\frac{2}{a+2}$=1，所以a=0，
所以${z}_{1}=\frac{1}{2}-i$，$\overline{{z}_{1}}=\frac{1}{2}+i$，
所以${z}_{1}•\overline{{z}_{1}}=\frac{m}{4}=\frac{5}{4}$，所以m=5．

点评 本题考查了复数的几何意义以及实系数的一元二次方程由虚数根时，根互为共轭复数的运用．