Question

【题目】2016年10月28日，经历了近半个世纪风雨的南京长江大桥真“累”了，终于停下来喘口气了，之前大桥在改善我们城市的交通状况方面功不可没．据相关数据统计，一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到280辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时．研究表明，当30≤x≤280时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤280时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得当0≤x≤30时，v（x）=50；

当30＜x≤280时，

设v（x）=ax+b．

由已知 ，解得a=﹣0.2，b=56，

故函数v（x）的表达式为v（x）=

（2）解：f（x）=xv（x）= ，

当0≤x≤30时，f（x）≤1500．

当30＜x≤280时，f（x）=﹣0.2（x﹣140）2+3920，∴x=140，f（x）max=3920

∴车流密度x为140，f（x）=xv（x）可以达到最大为3920

【解析】（1）设v（x）=ax+b．利用x的范围，列出方程组求解a，b，即可得到函数的解析式．（2）求出车流量f（x）=v（x）x的表达式，然后求解最大值即可．