Question

14．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，-4），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=$\frac{5}{2}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{c}$=（x，y），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，-2），可得$\frac{5}{2}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=-x-2y，联立$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y=\frac{5}{2}}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：设$\overrightarrow{c}$=（x，y），
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，-2），
∴$\frac{5}{2}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=-x-2y，
联立$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y=\frac{5}{2}}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-5-12\sqrt{35}}{34}}\\{y=\frac{-20+3\sqrt{35}}{17}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-5+12\sqrt{35}}{34}}\\{y=\frac{-20-3\sqrt{35}}{17}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{c}$=$（\frac{-5-12\sqrt{35}}{34}，\frac{-20+3\sqrt{35}}{17}）$或$（\frac{-5+12\sqrt{35}}{34}，\frac{-20-3\sqrt{35}}{17}）$．

点评 本题考查了向量数量积运算及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．