Question

函数f(x)=

1

3

x3+

a

2

x2+(a2-1)x+1，x∈R．
（1）如果函数f（x）在点A（2，f（2））处的切线的斜率等于3，求实数a的值；
（2）如果函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求得f'（x）=x²+ax+a²-1，根据已知条件可得f′（2）=3，可以得出a值；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，分类两种情况讨论：①f′（x）=0其△≤0，②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，利用实根分布寻找关于a的不等式，求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）由条件，f′（x）=x²+ax+a²-1，
由导数的几何意义可得f′（2）=3，解得a=0或-2；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，则
①f′（x）=0其△≤0，则f（x）在R上单调递增，
则f（x）在区间[1，+∞）上无极值，解得-

2 3

3

≤a≤

2 3

3

；
②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，
由实根分布可得，

f′(1)≥0⇒a≤-1或a≥0 △＞0⇒a＞ 2 3 3 或a＜- 2 3 3 - a 2 ＜1⇒a＞-2

⇒a＞

2 3

3

；
综上，a≥-

2 3

3

．

点评：本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用，考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了方程函数与转化思想的应用．