Question

已知x，y∈R^*且x+2y=2，则

x+1

+

2y+1

的最大值等于

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：不等式的解法及应用

分析：由条件利用柯西不等式可得（

x+1

+

2y+1

）²=（1×

x+1

+1×

2y+1

）²≤（1²+1²）[（

x+1

）²+（

2y+1

）²]，由此求得最大值．

解答： 解：∵x、y均为正数，且x+2y=2，
∴由柯西不等式可得则（

x+1

+

2y+1

）²=（1×

x+1

+1×

2y+1

）²≤（1²+1²）[（

x+1

）²+（

2y+1

）²]=2×（x+2y+2）=2×（2+2）=8，
即（

x+1

+

2y+1

）²≤8
∴

x+1

+

2y+1

≤2

2

当且仅当

x+1

=

2y+1

=时，取等号，
故则

x+1

+

2y+1

的最大值等于2

2

，
故答案为：2

2

．

点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．