Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知若a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）设b_n=

1

SnSn+1

，数列{b_n}的前n项的和为T_n，证明：T_n＜

5

2

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），分别令n=2，3即可解出；
（Ⅱ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=2，由（I）猜想a_n=

n2+n-1

n2+n

，代入上式验证成立即可．
（Ⅲ）a_n=1+(

1

n+1

-

1

n

)，可得S_n=n+

1

n+1

-1=

n2

n+1

，可得b_n=

1

SnSn+1

=

n+2

n2(n+1)

，当n≥2时，b_n＜

n+2

(n-1)n(n+2)

=

1

n-1

-

1

n

，即可证明．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），
令n=2，可得

1

2

+a2=4a₂-2，解得a₂=

5

6

．
令n=3，可得

1

2

+

5

6

+a₃=9a₃-6，解得a₃=

11

12

．

（Ⅱ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-n（n-1）-[（n-1）²a_n-1-（n-1）（n-2）]，
化为（n+1）a_n-（n-1）a_n-1=2，
由（Ⅰ）猜想a_n=

n2+n-1

n2+n

，
代入上式验证成立，
∴a_n=

n2+n-1

n2+n

．

（Ⅲ）证明：∵a_n=1+(

1

n+1

-

1

n

)，
∴S_n=n+(

1

2

-1)+(

1

3

-

1

2

)+…+(

1

n+1

-

1

n

)
=n+

1

n+1

-1
=

n2

n+1

，
∴b_n=

1

SnSn+1

=

n+2

n2(n+1)

，
当n≥2时，b_n＜

n+2

(n-1)n(n+2)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴当n≥2时，T_n＜

3

2

+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=

5

2

-

1

n

＜

5

2

，
当n=1时，上式也成立．
∴T_n＜

5

2

（n∈N^*）．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、“放缩法”，考查了猜想归纳能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．