Question

（2013•临沂一模）有下列四个命题：
p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则

1

a

+

4

b

的最大值是9；
p₃：直线ax+y+2a-1=0过定点（0，-l）；
p₄：区间[-

3

8

π，

π

8

]是y=2sin(2x+

π

4

)的一个单调区间．
其中真命题是（　　）

A．p₁，p₄

B．p₂，p₃

C．p₂，p₄

D．p₃，p₄

Answer 1

分析：令当x=y=0，可以判断p₁的真假；由基本不等式，可以判断p₂的真假；由直线过恒点时，提取参数后，系数为0，求出直线所过定点，可以判断p₃的真假；根据正弦型函数的图象和性质，求出函数的单调区间可以判断p₄的真假；

解答：解：当x=y=0时，sin（x-y）=sinx-siny成立，故p₁为真命题；
当a＞0，b＞0时，

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（a+b）=1+4+（

b

a

+

4a

b

）≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，故

1

a

+

4

b

的最小值是9，故p₂为假命题；
由ax+y+2a-1=（x+2）a+y-1=0，当x=-2，y=1时恒成立，故直线ax+y+2a-1=0过定点（-2，l），故p₃为假命题；
由2x+

π

4

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]得x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，函数y=2sin(2x+

π

4

)的单调区间为∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，当k=-1时，区间[-

3

8

π，

π

8

]是y=2sin(2x+

π

4

)的一个单调区间，故p₄为真命题；
故选A

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数值，基本不等式，直线过定点，正弦型函数的单调性，熟练掌握相关基本知识点是解答的关键．