Question

16．已知二次函数f（x）的最小值为1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f（x）+ax（a∈R）．
①求f（x）的解析式；
②若函数g（x）在[-1，1]上不是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 ①根据条件可知，二次函数f（x）的对称轴为x=1，从而可设f（x）=m（x-1）²+1，根据f（0）=3便可求出m=2，这样即可得出f（x）=2（x-1）²+1；
②求出g（x）=2x²-（4-a）x+3，求出g（x）的对称轴为x=$\frac{4-a}{4}$，这样根据g（x）在[-1，1]上不是单调函数便可得出$-1＜\frac{4-a}{4}＜1$，从而解该不等式便可求出实数a的取值范围．

解答 解：①f（0）=f（2）=3；
∴f（x）的对称轴为x=1；
∴设f（x）=m（x-1）²+1；
∴f（0）=m+1=3；
∴m=2；
∴f（x）=2（x-1）²+1；
②g（x）=2x²-（4-a）x+3；
∴g（x）的对称轴为x=$\frac{4-a}{4}$；
∵g（x）在[-1，1]上不是单调函数；
∴$-1＜\frac{4-a}{4}＜1$；
解得0＜a＜8；
∴实数a的取值范围为（0，8）．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的最小值，以及二次函数的单调性，待定系数求函数解析式的方法．