Question

（2011•宝坻区一模）如图，△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，∠BCD=90°，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E，F分别为DB，CB的中点，
（1）证明PE∥平面ABC；
（2）证明AE⊥BC；
（3）求直线PF与平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接EF，AF．由面面垂直的性质证出CD⊥平面ABC，从而得到PA∥CD，再用三角形中位线定理和DC=2PA，证出四边形PAFE是平行四边形，可得PE∥AF，结合线面平行判定定理即可得到PE∥平面ABC；
（2）根据线面垂直的性质，得到BC⊥PA．由正三角形的性质，得出BC⊥AF，结合线面垂直判定定理得到BC⊥平面PAFE，
从而证出AE⊥BC；
（3）由面面垂直的性质和平行线的性质，可得PE⊥平面BCD，从而得到，∠PFE就是直线PF与平面BCD所成的角．在RtPEF中，利用题中的数据和正切的定义算出∠PFE的正切值为

3

，从而得到∠PFE=60°，即得直线PF与平面BCD所成的角的大小．

解答：解：（1）连接EF，AF
∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，CD⊥BC
∴CD⊥平面ABC，结合PA⊥平面ABC，可得PA∥CD
∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥CD且EF=

1

2

CD
∵PA∥CD且PA=

1

2

CD，∴四边形PAFE是平行四边形，可得PE∥AF，
∵PE?平面ABC，AF?平面ABC，∴PE∥平面ABC；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA
∵正△ABC中，F为BC中点，∴BC⊥AF
∵AF、PA是平面PAFE内的相交直线，
∴BC⊥平面PAFE，
∵AF?平面PAFE，∴AE⊥BC；
（3）∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AF⊥BC
∴AF⊥平面BCD，结合PE∥AF可得PE⊥平面BCD，
因此，∠PFE就是直线PF与平面BCD所成的角
∵正△ABC中，F为BC中点，∴AF=

3

2

BC，可得PE=

3

2

BC，
又∵△BCD的中位线FE=

1

2

CD，CD=BC，∴FE=

1

2

BC
因此RtPEF中，tan∠PFE=

PE

FE

=

3

，可得∠PFE=60°
即直线PF与平面BCD所成的角的大小为60°．

点评：本题给出等腰三角形所在平面与正三角形所在平面垂直，且它们有一条公共边，求直线与平面所成的角并证明了线面平行、线面垂直，着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明和直线与平面所成角求法等知识，属于中档题．