Question

关于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）有实数解
（1）求a、b取值范围
（2）求实根的最大值与最小值．

Answer 1

考点：复数相等的充要条件

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由关于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）即x²-2x-2ab+（a+b-x）i=0有实数解，可得x²-2x-2ab=a+b-x=0，化为（a-1）²+（b-1）²=2．
令a=1+

2

cosθ，b=1+

2

sinθ，θ∈[0，2π）．即可得出．．
（2）由于x=a+b=2+2sin(θ+

π

4

)∈[0，4]，即可得出．

解答： 解：（1）∵关于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）即x²-2x-2ab+（a+b-x）i=0有实数解，
∴x²-2x-2ab=a+b-x=0，
∴（a+b）²-2（a+b）-2ab=0，
化为a²+b²-2a-2b=0，即（a-1）²+（b-1）²=2．
令a=1+

2

cosθ，b=1+

2

sinθ，θ∈[0，2π）．
∴a，b∈[1-

2

，1+

2

]．
（2）x=a+b=2+2sin(θ+

π

4

)∈[0，4]，
∴实根的最大值与最小值分别为4，0．

点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、三角函数的值域、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．