Question

【题目】已知函数，，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上的最小值是，求的值；

（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调增区间是；（2）；（3）见解析.

【解析】

试题（1）求出的导数，导数大于，即可求函数的增区间；

（2）对进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在上的最小值令其为，解方程求得的值；

（3）对于当时，先把具体出来，然后求导函数，得到，在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小．

试题解析： （1）解：，则，，

∴函数的单调增区间是；

（2）解：在上，分如下情况讨论：

1．当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；

2．当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；

3．当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，

∴函数的最小值为，得．

4．当时，函数在上有，单调递减，其最小值为，与最小值是相矛盾；

5．当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，与最小值是相矛盾．

综上所述，的值为．

（3）证明：当时，,

又,不妨设，要比较与的大小，

即比较与的大小，又因为，

所以即比较与的大小．

令，则∴在上是增函数．

又，∴，，即．