Question

4．函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（　　）

• A． f（x）=lnx
• B． f（x）=x²-2x
• C． f（x）=e^x
• D． f（x）=2x+1

Answer 1

分析 将所给的不等式化为：“f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）”，得到不等式对应的函数含义，根据基本函数同为增函数时的增长情况，对答案项逐一进行判断即可．

解答 解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，
f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）①，
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，
对于A、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，
对应函数值的变化量越来越小，A正确．
对于B、f（x）=x²-2x在定义域上不是单调函数，在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）递增，B错；
对于C、f（x）=e^x是增长速度最快-呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，
对应函数值的变化量越来越大，C错；
对于D、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，D错．
故选A．

点评 本题考查了基本函数同为增函数时的增长速度的应用，此题的关键是将不等式进行转化，并能理解不等式所表达的函数意义，考查了分析问题、解决问题的能力．