Question

如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．

Answer 1

解：（1）由已知，A（﹣4，0），B（4，0），F（2，0），
直线l的方程为x=8．
设N（8，t）（t＞0），
因为AM=MN，所以M（2，）．
由M在椭圆上，得t=6．
故所求的点M的坐标为M（2，3）．
所以，．
．
（2）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，得

∵圆方程为，
令x=0，得．
设P（0，y₁），Q（0，y₂），则
．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得
y₁+y₂=18，．
此时所求圆的方程为x²+y²+2x﹣18y﹣8=0．