Question

【题目】对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），若存在实数m，n，使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数f（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x2+3x和g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x﹣1是由f（x）=x2+ax和g（x）=x+b生成，其中a，b∈R且ab≠0，求 的取值范围；
（3）利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x﹣1）”生成一个函数h（x），使得h（x）满足：
①是偶函数，②有最小值1，求h（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+3x和g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），则有h（x）=mx2+3（m+n）x+4n，

h（﹣x）=mx2﹣3（m+n）x+4n=mx2+3（m+n）x+4n，

∴m+n=0，

故得h（x）=mx2﹣4m，

∴h（2）=0

（2）解：设h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb．

∴m=2，am+n=3，nb=﹣1，

则a= ，b= ．

所以： = = ，

∵a，b∈R且ab≠0，

∴ 的取值范围为[﹣ ，0）∪（0，+∞）

（3）解：设h（x）=m（log4（4x+1））+n（x﹣1），

∵h（x）是偶函数，

∴h（﹣x）﹣h（x）=0，

即m（log4（4﹣x+1））+n（﹣x﹣1）﹣m（log4（4x+1））﹣n（x﹣1）=0，

∴（m+2n）x=0，可得：m=﹣2n．

则h（x）=﹣2n（log4（4x+1））+n（x﹣1）=﹣2n[log4（4x+1）﹣ ]

=﹣2n[log4（2x+ ）+ ]，

∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有﹣2n=1，

∴m=1，n= ，

故得h（x）=log4（4x+1） （x﹣1）

【解析】（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．（2）设h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b），展开后整理，利用待定系数法找到a，b的关系，由系数相等把a，b用n表示，然后结合n的范围求解 的取值范围；（3）设h（x）=m（log4（4x+1））+n（x﹣1），h（x）是偶函数，则h（﹣x）﹣h（x）=0，可得m与n的关系，h（x）有最小值则必有n＜0，且有﹣2n=1，求出m和n值，可得解析式．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．