Question

13．若定义集合A的独立和如下：对于非空子集A，将A中每个元素k，都乘以（-1）^k，再求和．如A={1，3，6}，可求得其独立和为（-1）•1+（-3）³•3+（-1）⁶•6=2已知集合M={x|1≤x≤10，x∈N}，则对M的所有非空子集的独立和的总和等于2560．

Answer 1

分析 根据题意，将M中所有非空子集分类考虑完备，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有2、3…10的部分的和，问题即可解决．

解答 解：∵M={x|1≤x≤10，x∈N}={1，2，…10}，
∴M中所有非空子集中含有1的有10类：
①单元素集合只有{1}含有1，即1出现了C₉⁰次；
②双元素集合有1的有{1，2}，{1，3}，…{1，10}，即1出现了C₉¹次；
③三元素集合中含有1的有{1，2，3}，{1，2，4}，…{1，9，10}即1出现了C₉²次；
…
⑩含有十个元素{1，2，…}1出现了C₉⁹次；
∴1共出现C₉⁰+C₉¹+…+C₉⁹=2⁹；
同理2，3，4，…10各出现2⁹次，
∴M的所有非空子集中，这些和的总和是 2⁹•[（-1）¹+2×（-1）²+…+10×（-1）¹⁰]=2⁹×5=2560．
故答案为：2560．

点评 本题考查与集合有关的新定义，难点在于将M中所有非空子集合理分类计算，用组合数性质解决，考查学生综合分析与推理的能力，属于难题．