Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则一定有（　　）

• A、b＞0，c＞0
• B、b＜0，c＞0
• C、b＞0，c＜0
• D、b＜0，c＜0

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象，根据其与y轴交点的位置，可以判断d的符号，进而根据其单调性和极值点的位置，可以判断出其中导函数图象的开口方向（可判断a的符号）及对应函数两个根的情况，结合韦达定理，可分析出b，c的符号，进而得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点的纵坐标为正，故d＞0；
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象有两个递减区间，有一个递增区间，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c的图象开口方向朝下，且于x轴有两个交点，故a＜0，
又∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象的极小值点和极大值点在y轴左侧，且极大值点离y轴近，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两根x₁，x₂满足，
x₁+x₂＜0，则b＜0，x₁•x₂＞0，则c＜0，
综上a＜0，b＜0，c＜0，d＞0，
故选：D．

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据图象的形状分析其导函数的性质是解答本题的关键，同时由于本题涉及到导数，二次函数的图象和性质，函数的单调性，函数取极值的条件等诸多难点，属于中档题