分析 (Ⅰ)利用新定义推导出(a*b)*c=$\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$,a*(b*c)=$\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$,由此能证明(a*b)*c=a*(b*c).
(Ⅱ)要证a*b∈M,只需证:$|{\frac{a+b}{1+ab}}|<1$,即证$({\frac{a+b}{1+ab}})\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}<1$,由此能证明若a∈M,b∈M,则a*b∈M.
解答 证明:(Ⅰ)∵集合M={x||x|<1},在集合M中定义一种运算“*”,使得$a*b=\frac{a+b}{1+ab}$,
∴$({a*b})*c=({\frac{a+b}{1+ab}})*c=\frac{{c+\frac{a+b}{1+ab}}}{{1+c\frac{a+b}{1+ab}}}=\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$
a*(b*c)=a*($\frac{b+c}{1+bc}$)=$\frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a\frac{b+c}{a+cb}}$=$\frac{c+abc+a+b}{1+ab+ca+cb}$,
∴(a*b)*c=a*(b*c).…(6分)
(Ⅱ)由已知得:|a|<1,|b|<1,
要证a*b∈M,只需证:$|{\frac{a+b}{1+ab}}|<1$,即证$({\frac{a+b}{1+ab}})\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}<1$,
即:$({ab})\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-a\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-b\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}+1>0$,
而$({ab})\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-a\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-b\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}+1=({a\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-1})({b\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}-1}),|a|<1,|b|<1$,
有(a2-1)(b2-1)>0,
∴若a∈M,b∈M,则a*b∈M.…(12分)
点评 本题考查等式的证明和集合中元素的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用.
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 6 | D. | 8 |
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A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | D. | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ |
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A. | $\frac{5}{18}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{60}{91}$ | D. | $\frac{91}{216}$ |
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A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$或 $\frac{4}{3}$ | D. | -$\frac{3}{4}$或-$\frac{4}{3}$ |
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A. | 4π | B. | 2π | C. | π | D. | 0 |
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A. | $-\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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