Question

p：?x₀∈R，使得ax02-2x0-1＞0成立；q：方程x²+（a-3）x+a=0有两个不相等正实根；
（1）写出￢p；
（2）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；
（3）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）p：?x₀∈R，使得ax02-2x0-1＞0成立；∴￢p?x∈R，ax²-2x-1≤0成立．
（2）a≥0时ax²-2x-1≤0不恒成立．
由

a＜0 △≤0

，即

a＜0 4+4a≤0

，解得a≤-1．
∴实数a的取值范围：（-∞，-1]．
（3）设方程x²+（a-3）x+a=0两个不相等正实根为x₁、x₂．
命题q为真?

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

?

(a-3)2-4a＞0 1 2 (3-a)＞0 1 2 a＞0

解得0＜a＜1．
由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假
①当p真q假时，则

a＞-1 a≤0或a≥1

得-1＜a≤0或a≥1
②当p假q真时，则

a≤-1 0＜a＜1

无解；
∴实数a的取值范围是-1＜a≤0或a≥1．