Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+c•n（c是不为零的常数，n∈N₊），且a₁，a₂，a₃成等比数列．  
（1）求c的值；     
（2）求{a_n}的通项公式；  
（3）若数列{

an-c

n•cn

}的前n项之和为T_n，求证T_n∈[0，1）．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₂，a₃成等比数列可得c的方程，解出即可；
（2）由（1）可知a_n+1=a_n+2n，运用累加法可求；
（3）表示出

an-c

n•cn

，利用错位相减法可得T_n，根据T_n的单调性可求得其范围；

解答：解（1）a₂=a₁+c=2+c，a₃=a₂+2c=2+3c，
依题意：

a

2 2

=a1•a3，即（2+c）²=2（2+3c），
解得 c=0（舍去），c=2；
（2）n≥2时，a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，…a_n-a_n-1=2（n-1），
以上各式相加得a_n-a₁=2+4+…+2（n-1）=n（n-1）an=n2-n+2，
n=l时，a1=2=12-1+2，
所以?n∈N*，an=n2-n+2；
（3）

an-c

n•cn

=

n-1

2n

，
Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

…+

n-2

2n-1

+

n-1

2n

(n＞1)，2Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

…+

n-2

2n-2

+

n-1

2n-1

，
以上两式相减得Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n-1

2n

=1-

n+1

2n

，
∵当n∈N₊时，y=

n+1

2n

是减函数，且y=

n+1

2n

恒大于0，y_max=1，
∴T_n∈[0，1）；

点评：本题考查等比数列的定义、利用递推式求数列通项即错位相减法对数列求和，属中档题．