【答案】
分析:(1)由题意因为x
1=1,且已知过曲线C:y=x
3上的点P
1(x
1,y
1),把点的坐标代入得P
1(1,1),再有题意可以得到P
2,P
3;
(2)由题意及导数的几何含义及题中P
1(x
1,y
1),P
2(x
2,y
2),P
3(x
3,y
3),…,P
n(x
n,y
n),…,的产生可以得到数列{x
n}的通项公式;
(3)有(2)知道点P
n的坐标,利用电到直线的距离公式得到点P
n到直线l
n+1(即直线P
n+1P
n+2)的距离为d
n,在有得到式子放缩一下即可.
解答:解:(1)因为x
1=1,且已知过曲线C:y=x
3上的点P
1(x
1,y
1),所以得P
1(1,1),再有题意可以得P
2(-2,-8),P
3(4,64).
(2)曲线C上点P
n(x
n,y
n)处的切线l
n的斜率为
,
故得到切线的方程为y-y
n=3x
n2•(x-x
n),
联立方程
消去y,y
n得:x
3-3x
n2•x+2x
n3=0
化简得:(x-x
n)
2•(x+2x
n)=0所以:x=x
n或x=-2x
n,
由x=x
n得到点P
n的坐标(x
n,y
n),由x=-2x
n就得到点P
n+1的坐标(-2x
n,(-2x
n)
3)所以:x
n+1=-2x
n故数列{x
n}为首项为1,公比为-2的等比数列所以:x
n=(-2)
n-1(3)由(2)知:P
n+1((-2)
n,(-8)
n),P
n+2((-2)
n+1,(-8)
n+1),
所以直线l
n的方程为:
化简得:3•4
nx-y-2•(-8)
n=0,
所以
∴
≥
点评:此题考查了学生对于题意的准确理解,还考查了利用导数的几何意义求曲线上一点的切线的斜率及利用点斜式求出直线的方程,还考查了一元三次方程的求解及证明不等式时的恰当放缩.