Question

14．用半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则该圆柱体积的最大值为（　　）

• A． π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． $\sqrt{3}$π
• D． 2π

Answer 1

分析 设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，则圆柱的体积V（x）=πx（3-x²）=π（-x³+3x），0＜x＜$\sqrt{3}$，由此能求出该圆柱体积的最大值．

解答 解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，
那么另一边长为y=2$\sqrt{\frac{3}{4}-（\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，
∴圆柱的体积V（x）=πx（3-x²）=π（-x³+3x），0＜x＜$\sqrt{3}$，
∴V′=3π（-x²+1），
列表如下：

x	（0，1）	1	（1，$\sqrt{3}$）
V′（x）	+	0	-

∴当x=1时，此圆柱体积最大．最大值为V（x）_max=π（-1³+3×1）=2π．
故选：D．

点评 本题考查圆柱体体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．