Question

在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.

   （1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

   （2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）轨迹C的方程为

（2）存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为

解析:

（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x₁，y₁）是方程x² +y² =4的圆上的任意一点，则

    则有：得，

    轨迹C的方程为 

   （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

    所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)两点，N点所在直线方程为

    由

    由△=

    即 …   

    即，∴四边形OANB为平行四边形

    假设存在矩形OANB，则，即，

    即，

    于是有    得 … 设，

即点N在直线上.

 ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为