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    下列命题：
    ①函数f（x）=sin2x-cos2x的最小正周期是π；
    ②函数f（x）=（1-x）
    1+x
    1-x
    是偶函数；
    ③若
    ∫
    a
    1
    1
    x
    dx=1（a＞1），则a=e；  
    ④椭圆2x2+3y2=m（m＞0）的离心率不确定．
    其中所有的真命题是（　　）
    分析：①利用三角函数的性质判断．②利用函数奇偶性的定义判断．③利用微积分定理判断．④利用椭圆的离心率公式判断．
    解答：解：①由f（x）=sin2x-cos2x得f（x）=sin2x-cos2x=-cos2x，周期T=
    2π
    2
    =π    ，所以①正确．
    ②要使函数有意义，则
    1+x
    1-x
    ≥0    ，解得-1≤x＜1，定义域关于原点不对称，所以函数f（x）为非奇非偶函数，所以②错误．
    ③由
    ∫
    a
    1
    1
    x
    dx=1得lnx|
     
    a
    1
    =lna-ln1=lna=1    ，解得a=e，所以③正确．
    ④椭圆的标准方程为
    x2
    m
    2
    +
    y2
    m
    3
    =1    ，则a2=
    m
    2
    ，b2=
    m
    3
    ，所以c2=a2-b2=
    m
    2
    -
    m
    3
    =
    m
    6
    ，所以
    c2
    a2
    =
    m
    6
    m
    2
    =
    2
    6
    =
    1
    3
    ，即e=
    		3
    3
    ，离心率为定值，所以④错误．
    故真命题为①③．
    故选D．
    点评：本题主要考查各种命题的真假判断，综合性较强涉及的知识点较多．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）的定义域为D，若存在非零数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
    ①函数f（x）=(
    12
    )    x    为R上的1高调函数；
    ②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数
    ③如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）其中正确的命题是
     
    ．（写出所有正确命题的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
    ①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
    ②指数函数f（x）=2x（x∈R）是单函数；
    ③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
    ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
    ⑤f（x）=|2x-1|是单函数．
    其中的真命题是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    sinπx(x2+1) (x2-2x+2)
    ．对于下列命题：
    ①函数f（x）是周期函数；  ②函数f（x）既有最大值又有最小值； 
    ③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；
    ④对于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）．
    其中真命题的序号是
    ②③
    ②③
    ．（填写出所有真命题的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•湖北模拟）关于函数f(x)=
    e-x-2，x≤0
    2ax-1，x＞0
    （a为常数，且a＞0）对于下列命题：
    ①函数f（x）的最小值为-1；
    ②函数f（x）在每一点处都连续；
    ③函数f（x）在R上存在反函数；
    ④函数f（x）在x=0处可导；
    ⑤对任意的实数x1＜0，x2＜0且x1＜x2，恒有f(
    x1+x2
    2
    )＜
    f(x1)+f(x2)
    2

    其中正确命题的序号是
    ①②⑤
    ①②⑤
    ．

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