Question

（2013•天津）设a∈[-2，0]，已知函数f(x)=

x3-(a+5)x， x≤0 x3- a+3 2 x2+ax， x＞0

（Ⅰ） 证明f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x₁x₂x₃≠0，证明x1+x2+x3＞-

1

3

．

Answer 1

分析：（I）令f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0)，f2(x)=x3-

a+3

2

x2+ax(x＞0)．分别求导即可得到其单调性；
（II）由（I）可知：f′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间(0，

a+3

6

)内单调递减，在区间(

a+3

6

，+∞)内单调递增．
已知曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x₁，x₂，x₃互不相等，利用导数的几何意义可得f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，根据以上等式可得x2+x3=

a+3

3

，从而0＜x2＜

a+3

6

＜x3．设g（x）=3x²-（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a．
由3

x

2 1

-(a+5)=g(x2)＜a，解得-

2a+5 3

＜x1＜0，于是可得x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，通过换元设t=

2a+5 3

，已知a∈[-2，0]，可得t∈[

3

3

，

15

3

]，
故x1+x2+x3＞-t+

3t2+1

6

=

1

2

(t-1)2-

1

3

≥-

1

3

，即可证明．

解答：解：（I）令f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0)，f2(x)=x3-

a+3

2

x2+ax(x＞0)．
①

f

′ 1

(x)=3x2-(a+5)，由于a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，

f

′ 1

(x)=3x2-(a+5)＜3-a-5≤0，
所以函数f₁（x）在区间（-1，0）内单调递减，
②

f

′ 2

(x)=3x2-(a+3)x+a=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1时，

f

′ 2

(x)＜0；
当x＞1时，

f

′ 2

(x)＞0，即函数f₂（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，∞）上单调递增．
综合①②及f₁（0）=f₂（0），可知：f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（II）证明：由（I）可知：f′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间(0，

a+3

6

)内单调递减，在区间(

a+3

6

，+∞)内单调递增．
因为曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x₁，x₂，x₃互不相等，且f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)．
不妨x₁＜0＜x₂＜x₃，由3

x

2 1

-(a+5)=3

x

2 2

-(a+3)x2=3

x

2 3

-(a+3)x3+a．
可得3

x

2 2

-3

x

2 3

-(a+3)(x2-x3)=0，解得x2+x3=

a+3

3

，从而0＜x2＜

a+3

6

＜x3．
设g（x）=3x²-（a+3）x+a，则g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a．
由3

x

2 1

-(a+5)=g(x2)＜a，解得-

2a+5 3

＜x1＜0，
所以x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，
设t=

2a+5 3

，则a=

3t2-5

2

，
∵a∈[-2，0]，∴t∈[

3

3

，

15

3

]，
故x1+x2+x3＞-t+

3t2+1

6

=

1

2

(t-1)2-

1

3

≥-

1

3

，
故x1+x2+x3＞-

1

3

．

点评：本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力．