【题目】已知函数,.
(1)讨论函数的导函数的单调性;
(2)若函数在处取得极大值,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先求出,再对a分类讨论求出函数的单调性;(2)由题得,再对a分类讨论,根据函数在x=1处取得极大值,求出a的取值范围.
(1)∵,∴,∴,
①当时,,∴函数在上单调递增;
②当时,若,则;若,则,
∴函数在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时.函数在上单调递增,
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)∵,∴.
①由(1)知,当时,在上单调递增,
若,则;若,则,
∴在上单调递增,在上单调递减,∴在处取得极小值;不合题意;
②当时,在上单调递增,在上是单调递减,∴,
∴在上单调递减.∴无极值,不合题意;
③当时,,由(1)知,在上单调递增,∵,
∴若,则;若,则,
∴在上单调递增,在上单调递减,∴在处取得极小值,不合题意;
④当时,,由(1)知,在上单调递减,∵,
∴若,则;若,则.
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴在处取得极大值,符合题意.
综上所述,a的取值范围是.
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【题目】为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名青少年进行调查,得到如下列联表:
常喝 | 不常喝 | 总计 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
总计 | 30 |
已知从这30名青少年中随机抽取1名,抽到肥胖青少年的概率为.
(1)请将列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关?
独立性检验临界值表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中n=a+b+c+d.
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【题目】已知,椭圆C过点,两个焦点为,,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,直线EF的斜率为,直线l与椭圆C相切于点A,斜率为.
求椭圆C的方程;
求的值.
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【题目】已知点是椭圆C:上的一点,椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数,斜率为直线l交椭圆C于B,D两点,且A、B、D三点互不重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若分别为直线AB,AD的斜率,求证:为定值。
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知R为圆上的一动点,R在x轴,y轴上的射影分别为点S,T,动点P满足,记动点P的轨迹为曲线C,曲线C与x轴交于A,B两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知直线AP,BP分别交直线于点M,N,曲线C在点Р处的切线与线段MN交于点Q,求的值.
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【题目】记抛物线的焦点为,点在抛物线上,,斜率为的直线与抛物线交于两点.
(1)求的最小值;
(2)若,直线的斜率都存在,且;探究:直线是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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