Question

8．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆O的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=2-3t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求圆O的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）求圆O上离直线l距离最近的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）圆O的极坐标方程为ρ=6cosθ，化为ρ²=6ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程；
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=2-3t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t即可化为普通方程．
（2）x²+y²=6x，配方为（x-3）²+y²=9，圆心为O（3，0），过点O与直线l垂直的直线方程为：y=-$\frac{1}{3}$（x-3），化为x+3y-3=0．与圆的方程联立即可得出．

解答 解：（1）圆O的极坐标方程为ρ=6cosθ，化为ρ²=6ρcosθ，∴直角坐标方程为：x²+y²=6x；
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=2-3t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t化为3x-y+2=0．
（2）x²+y²=6x，配方为（x-3）²+y²=9，圆心为O（3，0），过点O与直线l垂直的直线方程为：y=-$\frac{1}{3}$（x-3），化为x+3y-3=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{30-9\sqrt{10}}{10}}\\{y=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$，$x=\frac{30+9\sqrt{10}}{10}$舍去．
∴圆O上离直线l距离最近的点的坐标为$（\frac{30-9\sqrt{10}}{10}，\frac{3\sqrt{10}}{10}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与圆的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．