Question

17．设A．B是曲线C：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{2}{x+1}$上不同的两点．且曲线在A，B两点处的切线都与直线AB垂直．
（1）求证直线AB过点（-1，-$\sqrt{3}$）；
（2）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意可得f′（x₁）=f′（x₂），化简可得x₁+x₂=-2，再由y₁+y₂═-2$\sqrt{3}$，由中点坐标公式可得直线必过中点；
（2）运用直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到直线AB的斜率，由点斜式方程进而得到直线的方程．

解答 （1）证明：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{2}{x+1}$的导数为y′=$\sqrt{3}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意可得f′（x₁）=f′（x₂），
即为$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$=$\frac{2}{（{x}_{2}+1）^{2}}$，
即有（x₁+1）²=（x₂+!）²，
即x₁+x₂=-2，
y₁+y₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+$\frac{2}{{x}_{1}+1}$+$\frac{2}{{x}_{2}+1}$
=-2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{-1-{x}_{2}}$+$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=-2$\sqrt{3}$，
则直线AB过中点（-1，-$\sqrt{3}$）；
（2）解：直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{\sqrt{3}（{x}_{2}-{x}_{1}）+\frac{2}{{x}_{2}+1}-\frac{2}{{x}_{1}+1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\sqrt{3}$-$\frac{2}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\sqrt{3}$+$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$，
由垂直的条件可得
[$\sqrt{3}$+$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$]•[$\sqrt{3}$-$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$]=-1，
化简可得（x₁+1）²=1，解得x₁=0或-2，
即有直线AB的斜率为2+$\sqrt{3}$，
即有直线AB的方程为y+$\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）（x+1），
即为（2+$\sqrt{3}$）x-y+2=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件和中点坐标公式，及直线方程的求法，属于中档题．