Question

设Tn=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)…(1-

1

n2

)(n≥2)．
（Ⅰ）求T₂，T₃，T₄，试用n（n≥2）表示T_n的值．
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）代入计算，可得T₂，T₃，T₄，从而猜想T_n的值．
（Ⅱ）利用数学归纳法的证题步骤，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：T2=1-

1

4

=

3

4

，T3=(1-

1

4

)(1-

1

9

)=

4

6

，T4=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)=

5

8

，…6分
猜想Tn=

n+1

2n

…8分
（Ⅱ）证明：（1）当n=2时由（Ⅰ）可知成立   …10分
（2）假设n=k时结论成立，即Tk=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)…(1-

1

k2

)=

k+1

2k

，
那么，当n=k+1时，Tk+1=Tk(1-

1

(k+1)2

)=

k+1

2k

•

k2+k

(k+1)2

=

(k+1)+1

2(k+1)

，…14分
所以当n=k+1时，命题也成立．
根据（1）（2）可知结论当n≥2，n∈N^•时都成立．  …16分．

点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．