Question

如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE；
（3）求三棱锥G-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）通过G，H分别是DF，FC的中点，说明GH∥CD，然后证明GH∥平面CDE．
（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，证明DE⊥平面ABCD，ED⊥BC，然后证明BC⊥平面CDE；
（3）点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，求出底面面积，即可求三棱锥G-ABC的体积．

解答：（1）证明：∵G，H分别是DF，FC的中点，
∴△FCD中，GH∥CD，
∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，
∴GH∥平面CDE．
（2）证明：平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
∵ED⊥AD，ED?平面ADEF，AD?平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，
∴BC?平面ABCD，∴ED⊥BC，
又∵BC⊥CD，CD∩DE=D，
∴BC⊥平面CDE．
（3）解：依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，…（11分）
即：h=

1

2

．…（12分）
∴VC-ABC=

1

3

•

1

2

•1•1•

1

2

=

1

12

．…（14分）
（求底面积对的有1分）

点评：本题考查直线与平面平行与垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查计算能力、空间想象能力．