Question

（2008•和平区三模）已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（x∈R）在任意一点（x₀，f（x））处的切线的斜率为k=（x₀-2）（x₀+1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若y=f（x）在-3≤x≤2上的最小值为

5

2

，求y=f（x）在R上的极大值．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3ax²+2bx+c和f（x）在（x₀，f（x₀））处的切线斜率k=（x₀-2）（x₀+1），能求出求a，b，c的值．
（2）由f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），能求出函数f（x）的单调区间．
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函数f（x）在R上的极大值．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，（1分）
而f（x）在（x₀，f（x₀））处的切线斜率k=f′（x₀）=3ax₀²+2bx₀+c=（x₀-2）（x₀+1），
∴3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a=

1

3

，b=-

1

2

，c=-2．（3分）
（2）∵f（x）=

1

3

x3 -

1

2

x2-2x+d，
由f′（x）=x²-x-2
=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函数，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上为减函数．（7分）
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表

x	[-3，-1）	-1	（-1，2]
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

f（x）在[-3，2]上的最小值产生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=-

15

2

+d，f（2）=-

10

3

+d，
知f（-3）＜f（2），（9分）
于是f（-3）=-

15

2

+d=

5

2

，
则d=10．（11分）
∴f（x）_max=f（-1）=

67

6

，
即所求函数f（x）在R上的极大值为

67

6

．（12分）

点评：本题考查函数的切线方程、单调区间和极值，综合性强，难度大，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．