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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    某高校的自主招生考试设置了自荐、笔试和面试三个环节，并规定某个环节通过后才能进入下一环节，且三个环节都通过才能被录取．某学生A三个环节依次通过的概率组成一个公差为
    1
    8
    的等差数列，且第一个环节不通过的概率超过
    1
    2
    ，第一个环节通过但第二个环节不通过的概率为
    5
    32
    ，假定每个环节学生是否通过是相互独立的．
    （Ⅰ）求学生A被录取的概率；
    （Ⅱ）记学生A通过的环节数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
    考点：离散型随机变量的期望与方差
    专题：概率与统计
    分析：（Ⅰ）设第一、二、三关通过的概率依次是a，a+
    1
    8
    ，a+
    1
    4
    ，由题意知
    1-a＞
    1
    2
    a[1-(a+
    1
    8
    )]=
    5
    32
    ，由此能求出a，从而能求出学生A被录取的概率．
    （Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．
    解答： 解：（Ⅰ）设第一、二、三关通过的概率依次是a，a+
    1
    8
    ，a+
    1
    4
    ，
    则由题意知
    1-a＞
    1
    2
    a[1-(a+
    1
    8
    )]=
    5
    32
    ，
    解得a=
    1
    4
    ，
    ∴学生A被录取的概率p=
    1
    4
    ×
    3
    8
    ×
    1
    2
    =
    3
    64
    ．
    （Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
    P（ξ=0）=1-
    1
    4
    =
    3
    4
    ，
    P（ξ=1）=
    1
    4
    ×[1-(
    1
    4
    +
    1
    8
    )]    =
    5
    32
    ，
    P（ξ=2）=
    1
    4
    ×(
    1
    4
    +
    1
    8
    )×[1-(
    1
    4
    +
    1
    4
    )]    =
    3
    64
    ，
    P（ξ=3）=
    1
    4
    ×(
    1
    4
    +
    1
    8
    )×(
    1
    4
    +
    1
    4
    )    =
    3
    64
    ．
    ∴ξ的分布列为：
    ξ  0 1 2 3
    P  
    3
    4
    		  
    5
    32
    		  
    3
    64
    		  
    3
    64
    ∴Eξ=0×
    3
    4
    +1×
    5
    32
    +2×
    3
    64
    +3×
    3
    64
    =
    25
    64

    ξ  0 1 2 3
    P  
    3
    4
    		  
    5
    32
    		  
    3
    64
    		  
    3
    64
    ∴Eξ=0×
    3
    4
    +1×
    5
    32
    +2×
    3
    64
    +3×
    3
    64
    =
    25
    64
    ．
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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    已知ξ～N（0，62），且P（0≤ξ≤2）=0.2，则P（ξ＜-2）等于（　　）
    A、0.1B、0.2
    C、0.3D、0.4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=
    1
    4
    ，则c的值为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an-Sn=1，n∈N*．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）在数列{an}的每相邻两项an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记其公差为dn；例如：在a1和a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1；在a2和a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，记公差为d2；…以此类推
    （i）求出dn的表达式（用n表示）
    （ii）按照以上规则插入数后，依次排列构成新的数列{bn}，求b2014的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}，{bn}满足a1=
    1
    4
    ，an+bn=1，bn+1=
    bn
    1-an2
    （n∈N*）．
    （1）求b1，b2，b3，b4；
    （2）求数列{bn}的通项公式；
    （3）设Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，若不等式4aSn＜bn对n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在正数数列{an}（n∈N*）中，Sn为{an}的前n项和，若点（an，Sn）在函数y=
    c2-x
    c-1
    的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a3•a5…a2n-1＞a101恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值．
    （Ⅲ）若存在一个等差数列{bn}，对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=3n-
    5
    3
    n-1    成立，求{bn}的通项公式及c的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b-c）cosA=acosC．
    （Ⅰ）求cosA的值；
    （Ⅱ）若△ABC的面积为2
    		2
    ，并且边AB上的中线CM的长为
    		17
    2
    ，求b，c的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则
    6
    a
    +
    a
    b
    的最小值为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=
    ax   x＜3
    ax+b  x≥3 
    ，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是等差数列，则a+b=
     
    ．

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