Question

【题目】设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）ex+ax2 ， a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（1，+∞）， ． 当a=1时，f'（2）=4a+2=6，f（2）=4a+3=7．
所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）．
即y=6x﹣5
（Ⅱ）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（ex+2a）．
①当a=0时，函数g（x）=（x﹣1）ex只有一个零点；
②当a＞0，因为ex+2a＞0，
当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．
所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
又g（0）=﹣1，g（1）=a，
因为x＜0，所以x﹣1＜0，ex＜1，所以ex（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1
取 ，显然x0＜0且g（x0）＞0
所以g（0）g（1）＜0，g（x0）g（0）＜0．
由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．
③当a＜0时，由g'（x）=x（ex+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．
ⅰ） 当 ，则ln（﹣2a）＞0．
当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，ln（﹣2a））	ln（﹣2a）	（ln（﹣2a），+∞）
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗	﹣1	↘		↗

注意到g（0）=﹣1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．
ⅱ） 当 ，则ln（﹣2a）=0，g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．
若 ，则ln（﹣2a）≤0．
当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：

x	（﹣∞，ln（﹣2a））	ln（﹣2a）	（ln（﹣2a），0）	0	（0，+∞）
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗		↘	﹣1	↗

注意到当x＜0，a＜0时，g（x）=（x﹣1）ex+ax2＜0，g（0）=﹣1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．
综上，a的取值范围是（0，+∞）．
（Ⅲ）证明：g（x）﹣f（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1．
设h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定义域为（1，+∞），则证明h（x）≥0即可．
因为 ，取 ，则 ，且h'（2）＞0．
又因为 ，所以函数h'（x）在（1，+∞）上单增．
所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（1，2），且 ．
当1＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．
所以函数h（x）的最小值为h（x0）．
所以 =1+x0﹣x0﹣1=0．
所以f（x）≤g（x）．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可；（Ⅲ）设h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定义域为（1，+∞），只需证明h（x）≥0即可，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．