Question

16．已知函数$f（x）=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$，若$f（{3^{a-1}}）＞f（-\frac{1}{9}）$，则实数a的取值范围是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 先由解析式求出函数的定义域，化简f（-x）后由偶函数的定义判断，由函数的单调性、偶函数的性质等价转化不等式，可求出实数a的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{{{e^{|x|}}}}-{x^2}$的定义域是R，
∵$f（-x）=\frac{1}{{e}^{|-x|}}-{（-x）}^{2}$=$\frac{1}{{e}^{|x|}}-{x}^{2}$=f（x），
∴函数f（x）在R上是偶函数，
∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，
∴不等式$f（{3}^{a-1}）＞f（-\frac{1}{9}）$等价于：$|{3}^{a-1}|＜|-\frac{1}{9}|$，
则3^a-1＜3^-2，即a-1＜-2，解得a＜-1，
∴实数a的取值范围是（-∞，-1），
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考查函数奇偶性的定义，函数的单调性，及偶函数性质的应用，考查转化思想，化简、变形能力．