Question

已知函数f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x的定义域为区间［0，1］.

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的单调区间，并判定函数的增减性;

(3)求g(x)的值域.

Answer 1

解析：(1)∵f(x)=3^x,f(a+2)=18,

    ∴3^a+2=18,得3^a=2,

    ∴g(x)=2^x-4^x,x∈［0,1］.

    (2)g(x)=2^x-4^x=2^x-(2^x)²,

    设t=2^x,

    ∵x∈［0,1］,∴t∈［1,2］,

    ∴g(t)=t-t²=+,g(t)在［1,2］上单调递减.

    ∵t=2^x为［0，1］上的增函数，

    ∴g(x)在［0，1］上为减函数.

    (3)∵g(x)在［0，1］上为减函数,

    ∴g(1)≤g(x)≤g(0),即g(x)∈［-2,0］.

    故g(x)的值域为［-2，0］.