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2.已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:f(x)是R上的偶函数;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明.

分析 (1)根据题意,先分析函数f(x)=ex+e-x的定义域为R,进而计算可得f(-x)=f(x),即可证明函数f(x)为偶函数;
(2)根据题意,用定义法进行证明:先设x1>x2>0,再计算化简f(x1)-f(x2)可得:f(x1)-f(x2)=(${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$)($\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$),结合指数函数的性质分析可得f(x1)-f(x2)>0,即可得证明.

解答 解:(1)证明:函数f(x)=ex+e-x,其定义域为R,
f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+ex=f(x);
故f(x)=ex+e-x是R上的偶函数;
(2)根据题意,函数f(x)=ex+e-x为增函数,
证明如下:设x1>x2>0,
f(x)=ex+e-x=ex+$\frac{1}{{e}^{x}}$,
f(x1)-f(x2)=(${e}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$)-(${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$)
=${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$
=(${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$)-$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$
=(${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$)($\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$),
而函数y=ex为指数函数,且x1>x2>0,
则${e}^{{x}_{1}}$>${e}^{{x}_{2}}$>1,
则f(x1)-f(x2)=(${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$)($\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$)>0,
故f(x)=ex+e-x为(0,+∞)上的增函数.

点评 本题考查函数的单调性.奇偶性的判定,注意判定奇偶性之前要先分析函数的定义域.

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