Question

设函数f（x）=e^x-e^-x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；
（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）-ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e^x+e^-x．
由于ex+e-x≥2

ex•e-x

=2，故f'（x）≥2．
（当且仅当x=0时，等号成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，则g'（x）=f'（x）-a=e^x+e^-x-a，
（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e^x+e^-x-a＞2-a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为x1=ln

a+ a2-4

2

，
此时，若x∈（0，x₁），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x₁）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是（-∞，2]．

点评：考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．